Никита Калинин ([info]nikaan) wrote,
2008-11-09 20:57:00
  • Previous
  • Memorize
  • Share
  • Next

Сказать, что я хочу много...

Вещественные числа можно построить как пополнение рациональных. Где это написано, как это делать?

Завести множество фундаментальных последовательностей, профакторизовать по отношению эквивалентности - это ещё можно. А вот потом доказывать, что то, что получилось, является полным метрическим пространством (даже определение предела там уже громоздко)...

Через сечения не хочу. Хочу продемонстрировать топологический подход, одинаковый для всех пространств.

PS Ещё, правда, вариант - сначала завести топологию, сказать, что такое всюду плотное множество, с помощью этого определить пополнение.
Tags: математика

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    switch

    Your reply will be screened

     
    Help
  • 59 comments

[info]dmitri_pavlov

November 9 2008, 19:19:37 UTC 3 years ago

Тут и доказывать ничего не надо. Есть две категории: категория нормированных
полей и категория полных нормированных полей. Из второй категории
в первую есть очевидный забывающий функтор. По теореме о сопряжённом функторе
у этого есть функтора есть левый сопряжённый функтор, который и будет
функтором пополнения.

[info]nikaan

November 9 2008, 19:30:27 UTC 3 years ago

Мне детям рассказывать. 8 класс.

[info]dmitri_pavlov

November 9 2008, 19:39:22 UTC 3 years ago

Тогда используй свой второй подход —
по существу это сводится к определению
сопряжённой пары через единицы и коединицы.
Единственный нетривиальный момент — доказательство
того, что второй раз применяя процедуру пополнения
мы ничего не меняем. Это доказывается какой-либо вариацией диагонального метода.

[info]nikaan

3 years ago

  • Loading...

[info]dmitri_pavlov

3 years ago

  • Loading...

[info]rus4

November 9 2008, 19:43:56 UTC 3 years ago

Прошу прощения за невежество, но что такое нормированное поле? Я всегда думал, что норма принимает вещественные значения.

[info]dmitri_pavlov

November 9 2008, 19:50:00 UTC 3 years ago

Норма принимает значения в упорядоченном поле.
Пополнение поля по этой норме тоже будет нормированным
полем, при этом норма будет принимать значения в пополнении упорядоченного поля.

[info]rus4

3 years ago

  • Loading...

[info]potap

November 9 2008, 20:30:06 UTC 3 years ago

Какой такой забывающий? Что он забывает? Просто вложение подкатегории в более широкую категорию.

[info]nikaan

November 9 2008, 20:47:39 UTC 3 years ago

Не, Вы немодным словами выражаетесь. Знаете, если что-то можно выразить в терминах категорий, то так и нужно делать. Утарели-с. Надо ещё помянуть коединицы и напомнить, что Гротендик это тоже имел ввиду, тогда кто-нибудь заинтересуется и прочтёт :)

[info]dmitri_pavlov

3 years ago

  • Loading...

[info]potap

3 years ago

  • Loading...

[info]dmitri_pavlov

3 years ago

  • Loading...

[info]dmitri_pavlov

3 years ago

  • Loading...

[info]nikaan

3 years ago

  • Loading...

[info]dmitri_pavlov

3 years ago

  • Loading...

[info]dmitri_pavlov

November 9 2008, 21:12:43 UTC 3 years ago

Он забывает факт полноты пространства.

[info]potap

3 years ago

  • Loading...

[info]dmitri_pavlov

3 years ago

  • Loading...

[info]potap

3 years ago

  • Loading...

[info]dmitri_pavlov

3 years ago

  • Loading...

[info]potap

3 years ago

  • Loading...

[info]matholimp

3 years ago

  • Loading...

[info]potap

3 years ago

  • Loading...

[info]dmitri_pavlov

3 years ago

  • Loading...

[info]potap

3 years ago

  • Loading...

[info]dmitri_pavlov

3 years ago

  • Loading...

[info]potap

3 years ago

  • Loading...

[info]marina_p

3 years ago

  • Loading...

[info]dmitri_pavlov

3 years ago

  • Loading...

[info]buddha239

July 15 2009, 19:55:52 UTC 2 years ago

"По теореме о сопряжённом функторе" - а что за теорема?:)

[info]dmitri_pavlov

July 15 2009, 20:02:27 UTC 2 years ago

Теорема Фрейда.
Только чтобы её применить, надо сначала вложить категорию полных нормированных полей в какую-нибудь полную категорию.

[info]buddha239

2 years ago

  • Loading...

[info]dmitri_pavlov

2 years ago

  • Loading...

[info]ted_dy

November 9 2008, 19:55:11 UTC 3 years ago

Есть такой подход. Рассказать о вещественных числах аксиоматически, то есть к очевидным аксиомам добавить одну неочевидную: аксиому Кантора-Дедекинда (аксиома полноты). Это очень наглядно: в прямой нет дырок. После этого повыводить другие утверждения: аксиома Архимеда, аксиома точной верхней грани, и тп. Потом построить теорию пределов. И убедиться, что сходимость фундаментальных последовательностей равносильна нашей аксиоме Кантора-Дедекинда. Или иначе: построить вещественные числа с помощью десятичной записи (но это занудство).

Второй вариант. Рассказать про метрические пространства. Это тоже очень наглядно. И рассказать про пополнение. А потом привести пример. Но это, имхо, сложно для школьников.

[info]nikaan

November 9 2008, 20:09:17 UTC 3 years ago

Меня интересует именно второй подход. Так как рассказывать про пополнение? "добавим все несуществующие пределы"? Это ж не объяснение.

[info]ted_dy

November 9 2008, 20:38:48 UTC 3 years ago

ну тогда только как классы эквивалентности фундаментальных последовательностей. надо только в каждом классе выбрать правильного представителя. но я всё равно считаю это занудством. лучше если дети узнают неаксиаматическое определение позже, но поймут его лучше.

[info]dmitri_pavlov

3 years ago

  • Loading...

[info]ted_dy

3 years ago

  • Loading...

[info]dmitri_pavlov

3 years ago

  • Loading...

[info]rus4

November 9 2008, 21:16:55 UTC 3 years ago

Метрические пространства естественно вводить после понятия вещественных чисел (либо надо говорить, что расстояние там принадлежит упорядоченному полю, как учит выше Дима Павлов. Этот подход хорош, если хочется, чтобы дети поскорее разбежались).

[info]matholimp

3 years ago

  • Loading...

[info]nikaan

3 years ago

  • Loading...

[info]dimpas

November 9 2008, 20:05:38 UTC 3 years ago

ну, в Рудине написано, для произвольных метрических пространств. Доказательство того, что из классов отношения эквивалентности получается полное метрическое пространство, нетрудно, хотя и не слишком изящно. (по–моему, детям полезно увидеть неизящное :))

[info]nikaan

November 10 2008, 21:31:26 UTC 3 years ago

Оно, вроде бы, слишком неизящное. Впрочем, я вроде придумал.
За ссылку на Рудина - спасибо, ознакомлюсь. Остальные только словесами кидаиться:)

[info]zroslav

November 9 2008, 20:13:43 UTC 3 years ago

как я понимаю, это Вербицкий с Калединым неплохо изложили
http://ium.mccme.ru/f04/experimental.html
(в курсе геометрии)
причем там продолжение есть обширное: и тебе p-адические числа, и тебе теорема Островского. и даже какие-то обобщения! все сразу излагается на пополнения нормированных колец и полей.

[info]nikaan

November 9 2008, 20:48:27 UTC 3 years ago

Чудесно.

[info]dmitri_pavlov

November 9 2008, 21:30:19 UTC 3 years ago

Кстати, второй способ — рассмотреть очевидный забывающий
функтор из категории полных упорядоченных полей в категорию
упорядоченных полей. По теореме о сопряжённом функторе у него
есть левый сопряжённый — функтор пополнения упорядоченного поля.

Явная конструкция даётся сечениями Дедекинда.

В принципе, в современном изложении всё так и делается.
Сначала строится функтор пополнения упорядоченного поля,
в частности, пополняя рациональные числа (самое естественной поля для
пополнения — начальный объект в категории упорядоченных полей!),
получаем полное упорядоченное поле вещественных чисел.

После этого можно построить функтор пополнения метрических
пространств (метрика принимает значения в упорядоченном поле),
в частности, функтор пополнения нормированных полей.
Например, пополняя рациональные числа во всем возможным нормированиям,
получаем p-адические и вещественные числа.

Теперь надо доказать, что пополняя упорядоченное нормированное поле
двумя способами, получаем одно и то же, при условии, что норма
согласована с порядком (это означает, что элемент положителен
тогда и только тогда, когда его норма положительна).
Впрочем, это совсем несложно.


Я рекомендую разобрать оба подхода — больше вероятность,
что поймут хотя бы один.
Кроме того, и сечения Дедекинда, и фундаментальные последовательности
полезны для интуиции.

[info]nikaan

November 10 2008, 21:32:10 UTC 3 years ago

Я хочу скорее именно интуиции :)

[info]dmitri_pavlov

November 10 2008, 23:03:17 UTC 3 years ago

Тогда рассказывай оба способа.

[info]a_konst

November 10 2008, 15:42:09 UTC 3 years ago

и мои 5 копеек :)

Универсальную операцию пополнения можно описать чисто аксиоматически, а не конструктивно. Объяснить, что она работает везде.
Конструкцию существования можно рассказать на пальцах, и можно рассказать их много.
Но гораздо важнее, на мой вкус, рассказать единственность пополнения - менее очевидно что это нужно доказывать, и с другой стороны, менее очевиден сам факт, после того как осознаешь что его надо бы доказать.
С существованием то все в общем понятно, что сойдется и никуда не денется.

[info]nikaan

November 10 2008, 21:30:21 UTC 3 years ago

Re: и мои 5 копеек :)

И как доказывается единственность? Так, чтобы ясно и понятно?

[info]a_konst

3 years ago

  • Loading...

[info]a_konst

3 years ago

  • Loading...

[info]a_konst

3 years ago

  • Loading...

[info]dmitri_pavlov

3 years ago

  • Loading...

[info]a_konst

3 years ago

  • Loading...

[info]dmitri_pavlov

3 years ago

  • Loading...

Deleted comment

[info]nikaan

March 7 2010, 07:29:17 UTC 2 years ago

Re: Вы владелец блога?

забанил)
Create an Account
Forgot your login or password?
Facebook Twitter More login options
English • Español • Deutsch • Русский…